Richard Strauss era il primo figlio di Franz Joseph Strauss, suonatore di corno principale dell'Orchestra di Corte di Monaco di Baviera per 49 anni, e di Josephine Pschorr, che apparteneva alla celebre famiglia di produttori di birra: una condizione che permetteva alla famiglia Strauss di godere di una certa indipendenza economica. Richard mostrò la predisposizione per la musica fin dalla tenera età e ad appena quattro anni cominciò a prendere lezioni di pianoforte dal collega d'orchestra del padre August Tombo; all'età di otto anni studiò il violino con il cugino paterno Benno Walter, direttore dell'Orchestra di Corte.
Il padre di Richard detestava Wagner: sia la musica sia la persona dell'artista anche se ne sapeva eseguire la musica in modo eccellente: per questo fino ai dieci anni permise al figlio di ascoltare solo i classici. Richard cominciò a comporre quando aveva solo sei anni e da allora fino alla morte avrebbe scritto musica regolarmente e copiosamente.

Quando Strauss raggiunse i 16 anni, vide il suo Quartetto di archi in la eseguito a Monaco di Baviera dal quartetto di Benno Walter. In seguito, l'orchestra chiamata Wilde Gung'l interpretò la sua Festmarsch in mi bemolle e Hermann Levi diresse l'orchestra di Corte di Monaco nell'interpretazione della sua Sinfonia in re minore. Un grande passo in avanti nella carriera del compositore fu dato dalla Serenade in mi bemolle per tre fiati, eseguita dall'orchestra di corte di Dresda sotto la direzione di Franz Wüllner. In seguito Benno Walter eseguì a Vienna il suo Concerto per Violino con Strauss al pianoforte. Strauss frequentò l'università a partire dal 1882 e vi studiò filosofia, estetica e storia dell'arte ma lasciò gli studi prima di terminarli per concentrarsi sulla musica. Si recò quindi a Berlino e qui incontrò Hans von Bülow, direttore dell'Orchestra di Corte di Meiningen, il quale fu molto colpito dai lavori di Strauss e a Berlino guidò l'orchestra nell'esecuzione della Serenade di Strauss in presenza del compositore. Strauss continuò a scrivere un gran numero di composizioni e tra il 1881 e il 1885 creò opere come il suo Concerto per Corno n. 1, la Sonata per violoncello, i Stimmungsbilder per pianoforte, il Quartetto per pianoforte, la Sinfonia n. 2 in fa minore e nove adattamenti di poesie di Gilm per voce e pianoforte che includono Zueignung, die Nacht e Allerseelen che è ancora uno dei suoi lieder più amati.

Nel 1885 accettò il posto di assistente direttore di Bülow a Meiningen, nonostante l'inesperienza in materia. Acquistò una grande esperienza sul podio ma lasciò l'incarico meno di un anno dopo per accettare un contratto di tre anni come terzo direttore dell'Opera di Corte di Monaco. Un fatto che a Meiningen influenzò particolarmente la vita personale di Strauss fu la sua amicizia con Alexander Ritter, compositore e poeta che lo convertì alla scuola di Franz Liszt e Richard Wagner.
L'immediato risultato sul piano musicale di questa conversione fu la fantasie sinfonica Aus Italien che riscosse un grande successo e che si ispirava al primo viaggio di Strauss in Italia nell'estate 1886, prima che egli cominciasse a lavorare a Monaco. Due anni dopo incontrò e si innamorò di Pauline de Ahna, soprano e figlia di un generale appassionato di Wagner.

Aus Italien fu seguita da un poema sinfonico basato sul Macbeth di Shakespeare e da un altro, Don Juan (1889), che quando fu eseguito per la prima volta fu per lui il più grande trionfo e lo consacrò nel mondo della musica.

Nel giugno 1892 Strauss si ammalò seriamente e passò l'inverno in Egitto, al Cairo, dove completò la musica per Guntram. La prima dell'opera fu diretta a Weimar nel maggio 1894 con Pauline nel ruolo della protagonista Freihild. Richard e Pauline si sposarono poi il 10 settembre dello stesso anno. Per le nozze egli regalò alla sposa i quattro superbi brani della sua op.27: Morgen, Cäcilie, Ruhe, meine Seele e Heimliche Aufforderung.

Di seguito, tra il 1889 e il 1898 Strauss scrisse una serie di poemi sinfonici, tra i quali Tod und Verklärung (1889), Till Eulenspiegels lustige Streiche (1894), Also sprach Zarathustra (1896), Don Quixote per violoncello e orchestra (1897) e Ein Heldenleben (1898) che avrebbero influenzato le prossime generazioni di modernisti.

Strauss si avvicinò all'opera lirica e nel 1901 creò Feuersnot. Questo fu seguito dal lavoro su Salome (1904) ispirato all'opera teatrale di Wilde. L'anno seguente il padre di Strauss, Franz, morì all'età di 83 anni, sei mesi prima della trionfante prima dell'opera a Dresda l'anno seguente. Quando Salome fu rappresentata, fu accolta come blasfema e lussuriosa e dovette fronteggiare la censura. Nel giro di due anni fu comunque messa in scena in 50 teatri d'opera e riscosse un largo successo. Con alcuni dei diritti d'autore provenienti dall'opera si costruì una villa a Garmisch-Partenkirchen sulle Alpi bavaresi.

Nel 1909 Elektra debuttò sulla scena a Dresda, ma nonostante il suo successo non riuscì ad impressionare il pubblico come Salome. Elektra rappresentò la prima collaborazione di Strauss con il poeta e drammaturgo austriaco Hugo von Hofmannsthal. Il loro sodalizio diede poi origine a una commedia per musica in tre atti Der Rosenkavalier completata l'anno seguente. Nello stesso anno la madre di Strauss, Josephine, morì all'età di 73 anni.
Nel 1919 Strauss accettò il posto di direttore dello Staatsoper di Vienna, dove si svolse la prima rappresentazione di Die Frau ohne Schatten. Strauss continuò a lavorare con Hofmannsthal fino al 1929, quando l'inaspettata morte del poeta lasciò incompiuti alcuni testi per il secondo e terzo atto di Arabella, che Strauss completò in sua memoria. Il compositore individuò nel 1931 un nuovo librettista nel romanziere e biografo ebreo Stefan Zweig che gli presentò un adattamento dell'Epicene o La donna silenziosa di Ben Jonson (die Schweigsame Frau). Due anni dopo Hitler fu nominato cancelliere tedesco e il compositore subì sempre di più accuse a causa della sua collaborazione con Zweig. Molti compositori scelsero di abbandonare il paese ma Strauss, quasi settantenne e ossessionato dalla musica, decise di rimanervi. Scelse di non andare contro i Nazisti soprattutto per salvare i festival musicali ma gli oppositori di Hitler spesso fraintesero il suo operato.

Nel 1937, ancora convalescente da un malattia, Strauss completò Daphne nel sole invernale di Taormina. Dopo lo scoppio della Seconda guerra mondiale nel 1939 il 75enne Strauss non suscitò più l'interesse delle autorità naziste ma a Garmisch il suo rifiuto di accogliere degli sfollati in casa sua causò molti problemi alla sua cognata ebrea, Alice Strauss, e ai suoi figli.
Ma a parte le preoccupazioni per la sicurezza della sua famiglia, i gravi atti che la Germania nazista aveva compiuto nel mondo e nella Germania stessa cominciarono a preoccuparlo quando toccarono la musica. Le celebrazioni per l'ottantesimo compleanno del compositore si svolsero a Vienna in completa tranquillità. A Salisburgo, die Liebe der Danae arrivò solo alla prova generale per la chiusura di tutti i teatri tedeschi dovuta all'attentato alla vita di Hitler.

Quando la Germania fu sconfitta e i suoi teatri d'opera distrutti, nella primavera del 1945 Strauss scrisse un intenso lamento, Metamorphosen, studio per 23 archi solisti; questo assieme al Concerto per oboe, la Wind Sonatina no.2 e il Concertino- Duetto per clarinetto, fagotto e archi appartiene al periodo conosciuto come "estate indiana", nome attribuito all'ultimo periodo dell'artista. Queste ultime opere sono tutte pacate e presentano una tecnica meravigliosamente raffinata. L'ultima opera lirica Capriccio, composta tra il 1940 e il 1941 e rappresentata per la prima volta a Monaco nell'ottobre 1942 è ritenuta la prima creazione appartenente all'"estate indiana".
Nell'ottobre 1945, Strauss andò con Pauline in esilio volontario in Svizzera dove rimase fino al maggio 1949, dopo che il suo nome fu sciolto dalle accuse naziste. Portò con sé quattro meravigliosi brani per orchestra composti nel 1948 che sarebbero stati il suo ultimo lavoro. Furono pubblicati postumi con il nome di Vier letzte Lieder. Richard Strauss morì nella tranquillità della sua casa di Garmisch l'8 settembre 1949.